בעיית מונטי הול היא אחת החידות המתמטיות המפורסמות ביותר בעולם. למעשה, זוהי חידה בתורת המשחקים בעל פיתרון סטטיסטי פשוט למדי, אבל כזה שנתפס כפרדוקסלי לרבים, שגם אחרי שלמדו אותו עדיין מתקשים להבינו או לקבלו. החידה מבוססת על שעשועון האמריקאי משנות ה-60 שנקרא Let's Make a Deal, ובשנות ה-90 הייתה פופולארית בערוץ 2 גירסה שלו שנקראה "עשינו עסק" בהנחיית אברי גלעד.
המשחק הולך ככה: נניח שאתם מתחרים בתוכנית ועומדים בפניכם 3 וילונות (או דלתות). מאחורי אחד מהם יש פרס יקר ערך (נניח מכונית) ואילו מאחורי השניים האחרים יש דחלילים. המשחק מתחיל כשאתם בוחרים בוילון מסוים. המנחה, שיודע בדיוק איפה המכונית, פותח בפניכם וילון שלא בחרתם ומראה לכם שעומד מאחוריו דחליל. עכשיו המנחה מציע לכם להחליף בין הוילון שבחרתם לוילון השלישי שטרם נחשף, והשאלה הנשאלת היא האם תעשו את זה? האם בכלל יש משמעות להחלפה?
רוב האנשים שמוצגת בפניהם הדילמה הזו בפעם הראשונה חושבים שזה לא משנה. הרי כעת יש שני וילונות מוסתרים והסיכויים שמאחורי כל אחד מהם תהיה המכונית הנכספת הוא 50%, נכון? זהו, שלא נכון. המעשה החכם ביותר הוא להחליף את הבחירה ולבחור בוילון השלישי. בצורה כזו, הסיכויים שלכם לצאת עם מכונית יהיו 67% בעוד אם תדבקו בוילון המקורי הסיכויים הם רק 33%.
המספרים הללו נראים מאוד מוזרים במחשבה ראשונה ולמעשה די פרדוקסליים לרוב האנשים. יש כמה דרכים לחשוב על הנושא. דרך אחת היא להסתכל מה קורה בכל אחת מהאפשרויות ולבדוק כמה פעמים תזכו אם תחליפו את הוילונות, וכמה פעמים תפסידו. הטבלה הבאה* עושה בדיוק את זה (יש לקרוא אותה משמאל לימין). היא מתארת מה קורה בכל אחד מהמקרים אם החלפתם בין הוילונות לאחר שאחד מהם נחשף בפניכם וגיליתם מאחוריו דחליל. נניח למשל שהמכונית נמצאת מאחורי וילון A ובחרתם בו כבחירה ראשונית. במקרה כזה המנחה יחשוף את אחד הוילונות האחרים ויראה לכם שיש מאחוריו דחליל. אם תחליפו לוילון שנותר, תפסידו אבל זה יהיה הפסד נדיר למדי. בסופו של דבר מתוך 9 קומבינציות אפשריות, תפסידו 3 פעמים ותנצחו 6 פעמים אם בכל פעם תחליפו את הוילון.
|
* הפתרון שאול ממאמר קלאסי שנכתב בנושא על ידי סטיב סלבין במדור "מכתבים למערכת" בכתב העת היוקרתי American Statistician בשנת 1975.
לא השתכנעתם? אתם יכולים לשחק באחת מבין עשרות סימולציות שקיימות ברשת ולראות איך הסיכויים מתכנסים לשני שליש ושליש ככל שתשחקו יותר משחקים. הנה ההוכחה הסטטיסטית הישירה, ויש גם פתרון מתמטי המבוסס על הסתברויות מותנות וסטטיטיקה בייסיאנית וניתן לקרוא אותה בקישור שנתתי למעלה.
עדיין לא משוכנעים? אתם לא לבד. הבעייה הזו עולה במחזוריות כל כמה שנים, וכל פעם כשהפתרון מוסבר יש אנשים שסבורים שההסבר מוטעה והם לא משתכנעים. במקרה אחד בתחילת שנות ה-90, היו הרבה ממתמטיקאים וסטטיסטיקאים שטענו שהפתרון שגוי.
הנה דרך נוספת להסתכל על הבעייה שאני חושב שמסבירה את הפתרון בצורה הכי אינטואטיבית. כשאתם בוחרים וילון בפעם הראשונה, אתם צודקים בשליש מהמקרים וטועים בשני שלישים. מכיוון שהמנחה תמיד יחשוף דחליל, בזה שתשנו את דעתכם אתם בטוח תצדקו אם הבחירה הראשונית שלכם הייתה שגויה ותחליפו וילון. מכיוון שרק בשליש מהמקרים הבחירה הזו הייתה נכונה, משתלם תמיד להחליף. דמיינו שבמקום שבמקום 3 וילונות עומדים בפניכם 100 וילונות. בחרתם בצורה אקראית וילון אחד מסוים. כעת, המנחה חושף בפניכם 98 וילונות שמאחורי כל אחד ואחד מהם מסתתר דחליל. יש מולכם שני וילונות מוסתרים, זה שבחרתם וזה שהמנחה בחר לא לחשוף. האם במקרה כזה לא תחליפו את הבחירה שלכם? כשמציגים את הבעייה בצורה הזו אנשים מבינים שהסיכוי לבחור בוילון הנכון מתוך 100 וילונות קלוש למדי. כשהמנחה חושף את כל הוילונות פרט לאחד, ברור למדי שהוילון הנותר הוא זה שיש מאחוריו מכונית. הבחירה הראשונה האקראית הייתה בעלת סיכוי של 1 ל-100 להיות נכונה, בעוד שהסיכוי שמאחורי אחד משאר הוילונות נמצאת המכונית הוא 0.99. רק אם במקרה בחרתם בוילון הנכון בהתחלה תפסידו בזה שתעבירו את הבחירה שלכם לוילון שלא נחשף. כשהסיכוי המקורי משתנה מ1 ל-3 ל-1 ל-100, ההתנגדות להחלפה בחידה המקורית נראית כעת באור אחר.
חידת מונטי הול היא דוגמא לחידה שהפתרון שלה די פשוט מבחינה מתמטית אבל עדיין מאוד קשה לאנשים לקבל אותה. בסוואנה באפריקה, היכן שהמוח שלנו התפתח לפני הרבה מאוד שנים, כנראה לא היה צורך לפתור חידות כמו חידת מונטי הול או להתעסק עם הסתברויות מהסוג הזה. הסתברויות גדולות מאוד או קטנות מאוד לא היו רלוונטיות להישרדות או לרבייה של ההומו סאפיינס ולכן המוח לא מצויד בכלים אינטואטיביים להתמודד איתן (במקרה שלנו, הוא תופס כנראה את שתי ההסתברויות הקטנות, 0.5 ו-0.33 כזהות). זו הסיבה שאנשים ממשיכים למלא לוטו תוך ציפייה בלתי מציאותית לזכות, או ממשיכים לשחק ברולטה אחרי שהפסידו לה שוב ושוב במה שנקרא כשל המהמר.
חשוב לזכור שהפתרונות המקובלים לחידה מבוססים על ארבע הנחות יסוד ששווה לתת עליהן את הדעת. 1) אתם מעריכים שהמכונית יכולה להמצא מאחורי כל וילון בהסתברות שווה. 2) המנחה לעולם לא חושף את הוילון שבחרתם בהתחלה. 3) המנחה תמיד חושף וילון שיש מאחוריו דחליל. 4) כאשר הבחירה הראשונית שלכם הייתה נכונה (כלומר נמצאת מאחוריה מכונית) המנחה בוחר בצורה אקראית איזה משני הוילונות הנותרים לחשוף. 3 ההנחות האחרונות סבירות בהחלט ואינן מערערות את המהות של החידה. לעומת זאת ההנחה הראשונה אינה כה טריוויאלית. מאמר פורץ דרך שפורסם בשנה שעברה ושיש לו השלכות מרחיקות לכת לנושא של דיסוננס קוגנטיבי חולק על ההנחה הזו. יתכן מאוד שלאנשים יש תחושה מסוימת שהמכונית נמצאת מאחורי וילון מסוים ולכן הסיכויים מבחינתם שהמכונית אכן שם גדולים משליש. זה יכול להסביר למה רבים יתעקשו לא להחליף את הוילון לאחר שנחשף בפניהם דחליל. גם אם תחושתם זו אין לה דבר עם ההסתברות האמיתית, היא בהחלט משהו שצריך לקחת בחשבון כשמנסים לפתור את החידה והופכת אותה להרבה יותר מחידה הסתברותית גרידא. זהו בעצם ניסיון לשלב את הצורה שבה אנחנו חושבים על אירועים מסוימים ואת ההסתברויות שאנחנו נותנים להם שיתרחשו בפועל (מה שנקרא סטטיסטיקה נאיבית) עם חישובים סטטיסטיים "קרים".
למי שמעוניין להרחיב בנושא על הסתעפויותיו הרבות (ויש הרבה כאלו), יש אינספור אתרים ברשת. בקרוב גם יוצא ספר שסוקר את ההיסטוריה של הבעייה, והסבר ממצה שלה נמצא גם בספר המצוין הזה שמתאר חידות הסתברותיות דומות.
הומו סאפיינס 
תגובות
לדעתי הקושי בקבלת הפתרון המתואר פה, נובע מהקישור שעשית פה (ועושים תמיד) לשעשועוני טלוויזיה, וזאת משתי סיבות:
– ההנחה הבסיסית של כל אחד מאיתנו היא שהמנחה ינסה לגרום לנו לא לזכות במכונית (והרי הוא יודע איפה היא נמצאת).
– בהנחות היסוד שהזכרת לא קיים תנאי נוסף ומאוד חשוב:"הנחת יסוד 5 – המנחה תמיד יציע לך להחליף וילון – בין אם בחרת במכונית ובין אם בדחליל".
מאחר ובעולם האמיתי (של שעשועוני הטלוויזיה) לא מובטח לך שהצעת ההחלפה תגיע ב-100% מהמקרים, אני יכול להניח שהמנחה מציע לי את ההחלפה דווקא כשבחרתי בוילון הנכון – וזה הגורם המטה את הבחירה שלי.
[ובהקשר הזה אגב, יהיה מעניין לבדוק האם הפתרון שתיארת תקף גם בעולם האמיתי, ולא רק מבחינה סטטיסטית – פשוט לפי ספירת תוצאות מקרי ההחלפה / ללא החלפה שקרו בתוכנית הטלוויזיה, ובדיקה – האם התוצאות תואמות את התאוריה?]
תוכלו לבדוק בעצמכם בקישור הזה http://aloeveranet.co.il/MontyHallProblem/
הניסוי נעשה במציאות ואכן התגלה שאסטרטגיית ההחלפה עובדת ברוב המקרים
לא נראה לי שהוא יקרא את זה…
אבל אני לא חושב שמקור הבלבול הוא שאנשים רואים עצמם כאילו הם משחקים. אפשר לנסח את הבעייה בצורה מתמטית בלי להזכיר את התוכנית וגם אז אנשים לא מוצאים את הפתרון הנכון. פשוט זה פתרון לא אינטואטיבי למי שלא מבין בהסתברויות (ומסתבר שגם לרבים שכן).
אתמול החידה פורסמה ב"עיניים" והתחלתי לתהות איך להסביר לילדים שלי את הפתרון.
תודה!
עוד אפשרות – כשחקנים לא רציונליים, ייתכן כי משתתפים במשחק מעריכים את ההפסד כמקרה שיחליפו את הבחירה שלהם כגרוע יותר (עלות גבוהה יותר) – היתה להם 'תחושת בטן' לגבי איזה וילון לבחור והם הלכו נגדה והפסידו, משהו בדומה למחיר של להחליף את התשובה שבחרת במבחן עם שאלות רב ברירתיות ולטעות.
אחרונה ומה שאת אומרת מרחיב את זה. אם מסתכלים על זה מבחינת עלות/תועלת, אנשים ירגישו רע הרבה יותר אם ישנו ויטעו מאשר אם יתעקשו ויטעו. זה קשור למה שטברסקי וכנהמן דיברו עליו בהקשר של "תורת הערך" והסתברויות סובייקטיביות.
הטענה "הסתברויות גדולות מאוד או קטנות מאוד לא היו רלוונטיות להישרדות או לרבייה של ההומו סאפיינס ולכן המוח לא מצויד בכלים אינטואטיביים להתמודד איתן" מפוקפקת מאד לטעמי, חצי ושליש אינן "הסתברויות קטנות" במיוחד, ובסואנה ללא ספק היה יתרון למי שידע להבדיל ביניהן.
אם יותר לי פרסום עצמי, בתגובות לדיון http://www.haayal.co.il/story?id=2518
יש התיחסויות קצת יותר רציניות לנושא.
נניח שבחרנו וילון והמנחה כבר פתח וילון ריק.
מאחורי הווילון שלא בחרנו יש מכונית בדיוק כאשר מאחורי הווילון שבחרנו אין מכונית. ולהיפך – מאחורי הווילון שלא בחרנו אין מכונית בדיוק במקרה שמאחורי הווילון שבחרנו יש מכונית.
מה הסיכוי לכך שמאחורי הווילון שבחרנו מלכתחילה אין מכונית? שני שלישים. לכן הסיכוי שהווילון האחר מסתיר מכונית הוא שני שלישים וכדאי לעבור.
כעת לאחר שכבר חשף המנחה את הוילון הריק
לא מבין למה הסיכויים אינם חצי חצי
לדעתי כל הדיון רלוונטי דקה לפני שהמנחה חשף את הוילון
אבל לאחריו ישנם כאן 2 אפשרויות שוות
אוסיף גם את אסופת המאמרים הערוכה של דניאל כהנמן אשר עוסקת בנושא הרציונליות ויצאה בעברית.
גיל, כתבת "בסוואנה באפריקה, היכן שהמוח שלנו התפתח לפני הרבה מאוד שנים, כנראה לא היה צורך לפתור חידות כמו חידת מונטי הול או להתעסק עם הסתברויות מהסוג הזה. הסתברויות גדולות מאוד או קטנות מאוד לא היו רלוונטיות להישרדות או לרבייה של ההומו סאפיינס ולכן המוח לא מצויד בכלים אינטואטיביים להתמודד איתן"
מעניין לחפש הסבר אבולוציוני, אבל מצאת את הלא נכון (כמו שכתב/ה שכ"ג למעלה). אם כבר, הסיבה היא שלאדם בסוואנה לא היה צורך להתמודד עם הסתברויות מותנות, ומוקד הבלבול בחידה הזאת נסוב סביב הסתברויות מותנות.
(גם לסטודנטים שלי קשה עם הסתברויות מותנות. ולכולם, בעצם. גם לי, כמובן).
מכיוון שבבחירה הראשונית שלך יש לך 33% סיכוי לבחור נכון ו-67% לטעות, הפיכת הבחירה שלך תהפוך את הסיכויים.
הבעיה היא שהמנחה בוחר איזה וילון לפתוח בהסתמך על הוילון אותו בחרת (הוא לעולם לא יפתח את הוילון בו בחרת). אם הבחירה היתה בלתי תלויה הרי שהיתה לנו בעיה חדשה עם סיכוי שווה לכל וילון שנותר. כיוון שבחירת המנחה תלויה (!!)
בבחירה הראשונית שלך, הרי שהעסק שונה לחלוטין.
אני, פחות או יותר, מסכים עם אלעד וו, רק עם התנגדות קצת יותר חריפה לטענות על הסוואנה ועל תפיסה סטטיסטית.
אנחנו לא באמת יודעים עם חשיבה אבסטרקטית על הסתברויות היא יכולת ביולוגית מובחנת או יכולת שרוכבת על היכולת הביולוגית שלנו לחשוב באופן מופשט. ברור שאורגניזמים נולדים עם אינטואיציות סטטיסטיות, מהבחינה שמנגנון הלמידה שלנו רגיש לסטטיסטיקה. אבל הרגישות הזו להסתברות אינה בהכרח קשורה לחשיבה מופשטת כי גם חולדות רגישות להסתברות וגם יצורים הרבה יותר פשוטים.
כלומר, ברור שגם אנחנו וגם חולדות יכולים ללמוד מהר למדי לעשות את הדבר הנכון במונטי הול (במיוחד בגירסת מאה הדלתות, כמובן), אבל לא בטוח שהיתרון שלנו על חולדות ביכולת לנסות לחשוב על הפתרון בעצמנו קשור למשהו ספציפי יותר מהיכולת שלנו להשתמש בשפה.
כך למשל, כל הטועים, משתמשים בעיקר באינטואיציות שנרכשו מלמידת סטטיסטיקה. כלומר, מידע תרבותי שנצבר בחברה שלנו, ולאו דווקא מאינטואיציות של חשיבה הסתברותית שבני-אדם נולדים איתה.
ברגע נוכחי עומדות בפני 2 אפשרויות
אפשרות א' זוהי שאני בחרתי
אפשרות ב' היא הדלת השלישית
העובדה שהמנחה יודע משהו שאני לא יודע אינה רלוונטית לבחירה שלי כרגע
כיון שהמשחק מתחיל כעת ובמשחק הזה ישנם 2 אפשרויות בלבד
תקנו אותי בבקשה – מענין אותי היכן אני טועה
זה לא נכון שהמשחק "מתחיל כעט" כי אחרי הבחירה הראשונה וחשיפת הדחליל , לא עירבובו מחדש באופן רנדומלי את מה שיש בין 2 הוילונות . לכן יש תלות בבחירה הראשונה
וזהות 2 הוילונות הנותרים היא לא רנדומלית
מכיוון שעל המנחה חל החוק שהוא חייב לחשוף דחליל. כלומר בבחירה הראשונית שלך (אם בחרת דחליל) כפית עליו איזה וילון לחשוף (ומכאן איזה וילונות נשארו).
אם האסטרטגיה שלך היא תמיד לעבור וילון אתה יכול להסתכל על הסיפור כולו באופן הבא:
כדי לנצח אתה צריך לדעת איפה 2 הדחלילים . אחד מהם חושף המנחה בוודאות , לכן עליך לנחש בעצמך רק איפה אחד מהם (ואז לעבור ממנו כפי שסיכמנו) והסיכוי לנחש איפה דחליל הוא שני שליש. .
אם תסתכלו על הטבלה, לא לכל שורה יש משקל סטטיסטי זהה.
השורות הראשונה, הרביעית והאחרונה שקולות כל אחת לשתי שורות רגילות, היות והן כוללות מערכת "או" שאין בשורות האחרות.
לכן יש לנו 6 שורות ששוות הפסד ו 6 שורות ששוות זכיה. הסיכוי הוא 50%
יכול להיות שאנשים כן יודעים מה זו הסתברות של חצי, אבל הנקודה היא שההבדל בין הסתברות של חצי לשליש במקרה הזה חסרת משמעות עבורם בצורה אינטואטיבית. זה לא רק ההסתברות המותנה שהיא הבעייה (ואני מסכים שלאנשים יש בעייה איתה) אלא המספרים עצמם וההשוואה ביניהם. הרי כמו שתארתי, אם תציגו את הבעייה כך שיש 100 וילונות רוב האנשים ימצאו מייד את הפתרון הנכון בלי שום חישוב למרות שמדובר בהסתברות מותנה. משמע, למספרים ולהבדלים ביניהם יש השפעה.
השורה הראשונה אינה שקולה לשתי שורות. זה ממש לא משנה מה המנחה חושף אחרי שבחרת את הוילון עם המכונית. אם הטבלה קצת מבלבלת אני ממליץ לחשוב על הדוגמא של 100 וילונות, היא יותר אינטואטיבית.
אפילו כתבתי קוד קטן משל עצמי ב 5 דקות. אין כמו כתיבת IF-THEN כדי לחדד את האופציות
אם המתחרה *תמיד* בוחר להחליף את הדלת, הרי המצב היחיד שבו הוא *יפסיד* הוא אם בהתחלה הוא יבחר בוילון המנצח – והסיכוי לכך הוא 1/3
תודה.
אתה רק מוכיח את הטענה שלי שזו חידה שלהרבה אנשים יש בעייה להבין את הפתרון שלה. יותר מהחידה עצמה, הפסיכולוגיה של ההבנה שלה הוא מה שמרתק בעיניי.
מה זה משנה האם עירבובו מחדש באופן רנדומלי את מה שיש בין 2 הוילונות
כעת ישנם רק 2 ברירות – הסיכוי שהוילון הנבחר ראשוני זהה לחלוטין לבחירה האחרת
יתכן וכל כותבים מתייחסים לתכנון אסטרטגי ע"פ תורת המשחקים שבה בשלב כניסתי למשחק יש משמעות לסיכויים כפי שאתם מתארים אותה.
אך לדעתי זוהי ראיה פסיכולוגית בלבד
מאחר ונניח לרגע שהשחקן שלנו נרדם מיד לאחר שהמנחה חשף את הוילון ונוסיף ולומר שהוילון שנחשף ירד מן הבמה.
ברגע שהוא יתעורר וינסה לפתרון את הבעיה ישנם בפניו רק 2 אפשרויות שוות
מה שאומר שכל החישובים כאן מתייחסים להבנה הפסיכולוגית של השחקן ולא באמת למה הסיכוי שלו
ושוב, תקנו אותי אם אני טועה
בנוסף לכל – כל טבלת החישובים מתייחסת אך ורק למחשבה תחילה לפני תחילת המשחק
אין שום משמעות לטבלה בשלב הבחירה הסופי
ברגע שהמנחה פותח לך וילון אז הוא לא עושה באקראיות והוא מגיב לבחירה שלך. כלומר, שתי האפשרויות הנשארות אינן תמימות או אין הבדל ביניהן. שוב, אני ממליץ לחשוב על הדוגמא של ה100 וילונות. האם כשהמנחה חושף 98 וילונות אתה עדיין חושב שהבחירה הראשונית שלך שווה לוילון האחרון שנותר?
זה לא משנה אם ישנת או לא. יש חוק ברור שלא משתנה שהמנחה חושף דחליל באחת משתי הוילונות שלא בחרת
במקרה שאתה בחרת דחליל (סיכוי של 3\2),אין למנחה שום ברירה אלא לחשוף את הדחליל השני,כלומר הוילון שנותר הוא לא אקראי אלה בודאות יש בו מכונית , וכל שנותר לך הוא לעבור אליו.
המצב היה נשאר חמישים חמישים אם למנחה היה מותר לחשוף דחליל גם אם הוא בוילון שלך , ואז להשאיר אותך עם 2 וילונות אקראיים .
לגיל – בהחלט כן, כיון שאמיתית יש לי סיכוי שוה בין המצבים
העובדה שהמנחה חושף דחליל רק אומרת שבמקום שבו הוא חשף אין מכונית
לגבי ההבדל בין בחירתי לבין הוילון הנוסף – הם שוים בסיכוים
גם אם נניח שהמנחה יודע שהמכונית יכולה להמצא בוילון שבחרתי או לחילופין בוילון הנותר עדין הוא היה חושף את הוילון שאותו הוא חשף
מה שאומר שאין שום שינוי בדרך שבה אני הולך
ככלל – אני בכל זאת חושב שבשלב שבו אני עומד הבחירה שלי היא רק בין 2 זהים לחלוטין.
גם אם המנחה היה חושף 98 מתוך 100 – עדין הסיכוי שלי היה זהה לחלוטין בין 2 הבחירות שנותרו
כיון שרק באחד מהם יש סיכוי למכונית
ובכך הוא בהכרח מגדיל את הסיכויים שלך לזכות אם תחליף. אני ממליץ לך לשחק בסימולציה ששמתי בקישור ותראה איך זה עובד. אין טוב ממראה עיניים.
את העובדה שכעת עומדים בפני 2 אפשרויות שאחת מהן – וכל אחת מהן שוה בזה – יכולה להיות עם המכונית
אני ממליץ לך לחפש חומר על זה ברשת כי הנושא של הבנת הקונספט של הסתברויות מותנות חיוני להבנת הפתרון.
אני אכן קורא חומר בנושא
רק הערה נוספת
למעשה כבר בתחילת הדרך כשהיו 3 וילונות (לפני שהמנחה פתח אחד) היו רק 2 אפשרויות
כיון שהאפשרות הוילון של המנחה היא פיקציה זמנית שמראש אינה רלוונטית לבחירה
כלומר היו כאן 2 אפשרויות
1. בחירת השחקן
2. בחירת המנחה + הוילון הנוסף
העובדה שמנחה בחר וילון אינה מעלה ומורידה כלל את העובדה הבסיסית שתמיד היו רק 2 אפשרויות שוות סיכוי
לסיכום – כפי שאני רואה לא נגיע לעמק השווה
לדעתי זה נובע מפרספקטיבות שונות לאירוע
אתה מתייחס אליו כאל אירוע מתפתח ואני מתייחס אליו כאל אירוע מוחלט שהבחירה שלי מותנת רק במה שעומד כרגע מול עיני
בכל מקרה תודה על ההזדמנות לדיון המענין הזה –
אשמח לקרוא אתגרים נוספים מעין אלו
1. סיכוייך לפגוע בפעם הראשונה הם 33%.
2. סיכוייך להחמיץ בפעם הראשונה הם 66%.
3. בהנחה שפגעת בבחירה הראשונה. אז אם תשנה את הבחירה אז תפסיד ב 100%.
4. בהנחה שלא פגעת בבחירה הראשונה, אז אם תשנה את הבחירה אז תנצח ב 100%.
לכן תמיד עליך להמר על כך שהחטאת בפעם הראשונה ולכן לפעול לפי ההנחה הרביעית ולהחליף וכך להשיג סיכוי של 66%.
סיכויי בפעם הראשונה הם 50% מן הסיבה שהבחירות האחרות הן בחירה אחת בלבד שהרי רק אחד מהם רלוונטי השני הוא שחקן פיקטיבי.
כיון שכל בחירה שלי מותירה בצד השני רק אפשרות אחת ראלית
נכונה או שגויה
הוילון שהמנחה חושף הוא סתם שחקן לא רלוונטי אינו משנה כלום – אולי רק לבלבל את האויב
הרי
אני עוקב אחר הדיון המרתק
והחלטתי לעבור שוב על הטבלה המרכזת בגוף המאמר
וגיליתי ש 3 מצבים נוספים לא מופיעים משום מה
והנה הם:
1. המכונית בוילון A – האיש בוחר וילון A – המנחה חושף B או C – המתחרה אינו מחליף = התוצאה – זכיה
2. המכונית בוילון B – האיש בוחר וילון B – המנחה חושף A או C – המתחרה אינו מחליף = התוצאה – זכיה
3. המכונית בוילון C – האיש בוחר וילון C – המנחה חושף A או B – המתחרה אינו מחליף = התוצאה – זכיה
וא"כ יש לנו שיווין בסיכויים 6 – 6
3 – 6 ולא כפי שנאמר
את הבחירה.
אם אתה מוסיף את האפשרויות שהוא לא החליף, ל-3 האפשרויות שציינת אתה צריך גם להוסיף את האפשרויות הבאות:
1. המכונית בוילון A – האיש בוחר וילון B – המתחרה אינו מחליף = התוצאה – הפסד
2. המכונית בוילון A – האיש בוחר וילון C – המתחרה אינו מחליף = התוצאה – הפסד
3. המכונית בוילון B – האיש בוחר וילון A – המתחרה אינו מחליף = התוצאה – הפסד
4. המכונית בוילון B – האיש בוחר וילון C – המתחרה אינו מחליף = התוצאה – הפסד
5. המכונית בוילון C – האיש בוחר וילון A – המתחרה אינו מחליף = התוצאה – הפסד
6. המכונית בוילון C – האיש בוחר וילון B – המתחרה אינו מחליף = התוצאה – הפסד
כלומר, במצב שהוא לא מחליף הוא יזכה רק ב3 מתוך 9 המקרים, ולכן ההחלפה כדאית.
אבל דווקא דוגמת הלוטו שהבאת בסוף המאמר לא נכונה. ההסתברות לזכות בפרס הראשון בלוטו (עד לפני השינוי; כיום נמוכה יותר) היא כ-1 ל-14000000. למעשה המספר האמיתי נמוך יותר, מפני שהחישוב הזה לא מתחשב באפשרות של זכייה משותפת.
אבל צריך לזכור שהפרס הראשון בלוטו הוא גדול מאוד, מה שאומר שתוחלת הרווח (הסתברות*זכייה) גם היא גדולה. בכל תיק השקעות יש מרכיב של סיכון גבוה. אדם שמרכיב חלק גדול מתיק ההשקעות שלו מלוטו עושה שטות גדולה, ממש כמו אדם שמרכיב את כל תיק ההשקעות שלו מאג"ח בדירוג נמוך. אבל טופס לוטו אחד בשבוע, ממש כמו מרכיב זעיר של אג"ח בסיכון גבוה וריבית גבוהה, יכול להיות תוספת נכונה ורציונלית לתיק.
(הכותב אינו יועץ השקעות מוסמך – השקעות, בלוטו או בכל דבר אחר, על אחריות הקורא בלבד).
תוחלת הרווח היא כמובן למרות הכל שלילית, בדר"כ. אבל זה מאפיין של כל השקעה מסוכנת, ומתקבל על הדעת אם ההפסד האפשרי קטן (מחיר טופס) והרווח האפשרי עצום (פרס ראשון).
(הכותב אינו יועץ השקעות וכו'..)
הבעייה היא שהתוחלת היא כל כך שלילית שזה לא ממש רציונלי למלא לוטו. אתה אומר, מה זו כבר השקעה קטנה של כמה שקלים כל שבוע, אבל כשמחשבים כמה השקעת בזה במשך שנים זה כבר מגיע לסכומים די מכובדים. כשמדובר בסיכויים כל כך קטנים, הסיכוי כמעט אפסי. הנה, אפילו אחרי ששינו את התנאים לרעת האנשים לא יהיה שום שינוי מהותי בהתנהגות שלהם. בשביל רוב האנשים, 1 למיליון או 1 למיליארד זה בערך אותו הדבר.
לא רק זה, אלא שמפעל הפיס מפרסם ומתפאר בתוחלת הזכיה השלילית שלו.
הנה, כאן: http://www.pais.co.il/Pais/About/ThanksToPais/
וגם בפרסומות ברדיו.
"מפעל הפיס השקיע למעלה מ-23 מיליארד שקלים בפרוייקטים שונים…"
מאיפה כל המיליארדים האלה?
מתוחלת הזכיה השלילית של האדם הקטן, זה מאיפה.
אחרת מפעל הפיס לא היה מרוויח כסף, והמטרה של כל הימור היא להרוויח.
הפתרון הלוגי הוא :
נניח שהאיש בחר וילון מספר 1 והמנחה מציג חלון 2 עם הדחליל כאשר ברור למתחרה שהתשובה הנכונה היא וילון 1 או וילון 3
למעשה המנחה לפני הצגת וילון 2 ביצע "בדיקה נכונות" בין 2 לבין 3 וזה במקרה
והרכב נמצא בוילון מס' 3
דבר שלא היה צריך לבצע בקשר לוילון מס' 1
שנבחא עך ידי המתחרה
דהיינו- לוילון מס' 3 יש יתרון על פני וילון מס' 1 שנבחר ע" המתחרה בגלל הבדיקה המוקדמת עם וילון מס' 2
למעשה וילון מס' 3 במקרה זה מגיע עם יתרון על וילון מס 1
וזה בניגוד למצב אחר בו אדם נדרש לבחור בין שני מצבים עם הסתברות של 50% לכל אחד מהם
דני אייזנשטטיין
והאוטו נמצא בוילון 3
לא קיבלתי את הפיתרון שמציע להחליף את הוילון. ההסבר שלי הוא שאפשר לסתכל באופן שונה על הפיתרון המתמטי: מאחר ובכל מקרה המנחה חוסף וילון ריק או עם דחליל, כלומר יש לי שני וילונות בניחוש שלי, שאחד מהם ריק בודאות.
ניסיתי לעשות סימולציה (לא זאת המופיעה בבלוג, מחשש שסימולציה מוטית לטבת הפיתרון) הכנתי שלושה פתקים שרק על אחד רשומה המילה "פרס". טרפתי את הפתקים וניחשתי פתק. לאחר הניחוש הפכתי פתק אחר כלשהו. במידה ובפתק שחשפתי היה רשום פרס, לא רשמתי בטבלה שלי זכיה או הפסד כי בחוקים של המשחק המנחה חייב לחשוף וילון ריק. במידה והפתק שחשפתי היה ריק, החלטתי בכל הניחושים לא לקבל את הצעת המנחה והרמתי את הפתק שבו בחרתי בהתחלה.
מתוך 17 נסיונות רשומים זכיתי ב-10 ואילו ב-7 הפסדתי. במידה והפיתרון המוצע בבלוג היה נכון, אז הייתי אמור להפסיד יותר פעמים מאשר לנצח, אבל זה לא קרה (כפי שציפיתי). אני מבקש מכל מי שמעוניין לבצע בדיקה אמיתי בעצמו כפי שאני בצעתי (אם יש סבלנות, לבצע יותר נסיונות) אשמח לקבל את תגובתכם הכנות.
רון, בסימולציה שלך יש הטייה מובנה ובכל מקרה היא עובדת בממוצע. כדי להבין את המתמטיקה ממליץ פשוט להסתכל בטבלה שצירפתי או אם אתה מעוניין לחשוב על הדבר בצורה אינטואטיבית תקרא את הדוגמא עם ה100 וילונות, זה נראה לי הכי פשוט.
גיל,
מאחר וחשיפת הווילונות הריקים היא וודאית וידועה מראש, גם בדוגמה של 100 ווילות ניתן לטעון על אותו משקל שהניחוש שלי כולל גם את הווילונות הריקים. אך לא כך הדבר וגם האענה השניה אינה נכונה. מאחר וחשיפת כל הווילונות הריקים (למעט שניים, שמתוכן בחרתי אחד) הסיכוי הוא 50% זכיה בכל מצב.
גיל תגובה מתוקנת:
מאחר וחשיפת הווילונות הריקים היא וודאית וידועה מראש, גם בדוגמה של 100 ווילות ניתן לטעון על אותו משקל שהניחוש שלי כולל גם את הווילונות הריקים. אך לא כך הדבר וגם הטענה השניה אינה נכונה. מאחר וחשיפת כל הווילונות הריקים (למעט שניים, שמתוכן בחרתי אחד)היא וודאית וידועה מראש. הסיכוי הוא 50% זכיה בכל מצב.
רון, הטעות שלך היא שאתה מבלבל בין הסתברות אפריורית למותנית. אי אפשר להתעלם מעצם חשיפת דחלילים. תחשוב על זה ככה: בדוגמא של ה100, אתה באמת חושב שההסתברות היא 50% אחרי חשיפת 98 וילונות? הרי הסיכוי שלך לבחור מראש את הוילון הנכון היה 1 ל100 וזה לא השתנה. אם תעשה סימולציה על מצב כזה תראה שעדיף כמעט תמיד להעביר את הבחירה.
גיל תודה רבה,
היום בדיוק חשבתי איך אני יכול לעשות סימולציה ללא הרבה נסיונות ושתיהיה אמינה וחשבתי על אותה סימולוציה שהצעת ובדיוק אז הבנתי שהצדק עמך.
אין בעד מה, שמח שהצלחתי להבהיר. זה רק מראה עד כמה הבעייה הזו לא מרפה מאנשים וקשה מאוד להבין אותה. זו הייתה מטרת הפוסט.
אינני מדענית אבל היתה סיטואציה במשפחה שגרמה לי לחפש חומר בנושא זכרונות מודחקים או "שתילת זכרונות"..שלא בכוונה ומצאתי הרבה עניין בחומר שהובא בבלוג שלך. תודה
היי זיו, אין דבר שמשמח אותי יותר ממה שכתבת 🙂
ואגב, הבלוג הזה ממש לא נכתב עבור מדענים או רק עבורם.
סליחה
רון, אין לך על מה להתנצל.
טרקבאקים
[…] הדוגמאות הקלאסית להטיית חשיבה אצל בני אדם היא בעיית מונטי הול שכתבתי עליה בהרחבה בבלוג. בעיית מונטי הול היא דוגמא […]
[…] משהו תמיד יהיו אנשים שעדיין יתבלבלו, כמו בבעיית מונטי הול הידועה. בעייה נוספת שרלוונטית מאוד בהקשר הרפואי […]