האם 3 נמצא בדיוק באמצע בין 1 ל-9?

אם תשאלו אדם מבוגר מה האמצע בין 1 ל-9, יש להניח שהוא יענה 5, אבל אם תשאלו ילדים או אנשים שחיים בחברות מסורתיות שאינן יודעות קרוא וכתוב, סביר להניח שהתשובה שיתנו תהיה 3. התשובה 3 אולי נראית לנו תשובה פחות הגיונית אבל היא לא כזו אם אנחנו משתמשים בחישובים שלנו בבסיס 3. אנחנו אמנם רגילים לחשוב על בסיס עשרוני, אבל זה לא אומר שבסיסים אחרים בהכרח פחות מדויקים או לא שימושיים עבורנו. אנחנו משתמשים בבסיסים אחרים בחיי היום יום בצורה ישירה או עקיפה. בסיס 2  הוא זה שמחשבים עובדים לפיו, אם כי הוא לא נוח כל כך בחיי היום יום. אבל בסיס 12 משמש אותנו בהקשרים שונים, למשל מספרי חודשי השנה, ואפילו יש לו מילה משלו, תריסר.

מחקר חדש מראה שהשימוש בפונקציה לוגריתמית כנראה טבעי לנו הרבה יותר ומסיבות אבולוציוניות טובות. הטענה של חוקרי המאמר (שמתואר גם פה בצורה פחות מתמטית) היא שאנחנו מחווטים לחשב ולחשוב בצורה לוגריתמית, גם אם אנחנו הרבה פעמים לא מודעים לכך, ולכן 3 הוא תשובה הגיונית לשאלה בדבר נקודת האמצע שבין 1 ל-9. פונקציה לוגריתמית, למי שכבר מזמן שכח משיעורי המתמטיקה בתיכון, היא הפונקציה ההפוכה לחזקה (או פונקציה מעריכית). הפונקציה הלוגריתמית נותנת לנו איזו חזקה צריך להעלות כדי להגיע למספר אחר. אם 10 בחזקת 2 שווה ל-100, אז הלוגריתם של 100 בבסיס 10 שווה ל-2. עכשיו, אם אנחנו משתמשים בבסיס 3, אז הלוגריתם של 1 שווה ל-0, הלוגריתם של 3 שווה ל-1, והלוגריתם של 9 שווה ל-2. כלומר, הלוגריתם של 3 נמצא בדיוק באמצע בין 1 ל-9.

לוגריתמים משמשים אותנו באינספור תחומים מתמטיים וסטטיסטיים, מצוינים לתאור גרפי של נתונים שהסקאלה שלהם ענקית, אבל גם חשובים מאוד לפסיכולוגיה שלנו, או ליתר דיוק לתחושות הסובייקטיביות שלנו. ניסויים שונים מראים שמערכת הסנסורית שלנו מושפעת מאוד מלוגריתמים. אנשים חושבים שהם תופסים גירויים פיסיים כגדלים בצורה ליניארית, אבל למעשה הם בעצם גדלים בצורה לוגריתמית. יש לזה אפילו שם, חוק החזקה של סטיבנס. כך למשל, אם נגדיל את עוצמת הרעש בצורה מעריכית, כל פעם פי שניים או שלושה, אנשים יחשבו שהם גדלים באותו קצב בדיוק. או בניסוי אחר שנעשה, אנשים ימקמו את המספר 100 ביחס למספר 200, באותה קירבה שהם ימקמו את המספר 10 למספר 20, על גבי קו שרירותי. זה עובד גם בצורה הפוכה. אם נגדיל את הטמפרטורה בחדר בצורה קטנה והולכת כל פעם, למשל מ-25 מעלות ל-30, אחרי זה ל-33, 35, 36 וכו’, אנשים יחוו את העלייה הזו בצורה לינארית קבועה ולא ישימו לב שההגדלה קטנה כל פעם.

מבחינה השרדותית, יש הגיון בחשיבה לוגריתמית. חישבו על מצב שבו השבט שלכם מותקף על ידי שבט שכן. אתם רוצים להעריך כמה אנשים תוקפים אתכם. היכולת להבחין בין 3 אנשים ל-9, או בין 9 ל-27 משמעותי הרבה יותר מאשר לדעת אם מדובר ב-9 במקום 10, הבדל זניח לכל הדיעות. במילים אחרות, המוח שלנו פועל כך שהוא מעריך בצורה שממזערת טעויות יחסיות ולא מוחלטות. ככל שיש מדגם גדול יותר, כך סדרי הגודל הם החשובים ולא דיוק אבסולוטי. ככל שההפרשים גדולים יותר כך גם הטעויות היחסיות יקטנו. המוח שלנו אולי מבחין באותה חדות בהבדל בין 27 לוחמים לעומת 9, כמו גם בהבדל בין 9 לעומת 3, אבל ההבדלים האבסולוטיים כמובן גדולים יותר במקרה הראשון. באותה מידה, יהיה מאוד אדפטיבי לטיגריס רעב שצופה על עדר של אנטילופות, להבחין בין 100 ל-10 חיות, בעוד אם יש 95 או 100 בעדר לא ממש משנה לו. חשיבה לוגריתמית היא אם כך, תוצר הגיוני של האבולוציה שלנו.

צריך לזכור שהמתמטיקה, והמספרים בתוכה, היא שפה שבני אדם המציאו. העובדה שבהרבה מקרים יש התאמה בין המתמטיקה למציאות סביבנו ולטבע היא לא פחות ממדהימה, אבל המתמטיקה הייתה נכונה גם אם לא היה לה קשר למציאות החיצונית. מספרים ומה שהם מייצגים הם שפה משלהם, המצאה אנושית שמאוד נוח לנו להשתמש בהם, אבל הם לא עומדים בפני עצמם כאיזו שהיא אמת מוחלטת, ולכן שימוש בבסיס 3 הגיוני לא פחות משימוש בבסיס עשרוני, והתשובה 3 כמרחק האמצעי בין 1 ל-9 לא פחות מדויקת מ-5.