האם 3 נמצא בדיוק באמצע בין 1 ל-9?

אם תשאלו אדם מבוגר מה האמצע בין 1 ל-9, יש להניח שהוא יענה 5, אבל אם תשאלו ילדים או אנשים שחיים בחברות מסורתיות שאינן יודעות קרוא וכתוב, סביר להניח שהתשובה שיתנו תהיה 3. התשובה 3 אולי נראית לנו תשובה פחות הגיונית אבל היא לא כזו אם אנחנו משתמשים בחישובים שלנו בבסיס 3. אנחנו אמנם רגילים לחשוב על בסיס עשרוני, אבל זה לא אומר שבסיסים אחרים בהכרח פחות מדויקים או לא שימושיים עבורנו. אנחנו משתמשים בבסיסים אחרים בחיי היום יום בצורה ישירה או עקיפה. בסיס 2  הוא זה שמחשבים עובדים לפיו, אם כי הוא לא נוח כל כך בחיי היום יום. אבל בסיס 12 משמש אותנו בהקשרים שונים, למשל מספרי חודשי השנה, ואפילו יש לו מילה משלו, תריסר.

מחקר חדש מראה שהשימוש בפונקציה לוגריתמית כנראה טבעי לנו הרבה יותר ומסיבות אבולוציוניות טובות. הטענה של חוקרי המאמר (שמתואר גם פה בצורה פחות מתמטית) היא שאנחנו מחווטים לחשב ולחשוב בצורה לוגריתמית, גם אם אנחנו הרבה פעמים לא מודעים לכך, ולכן 3 הוא תשובה הגיונית לשאלה בדבר נקודת האמצע שבין 1 ל-9. פונקציה לוגריתמית, למי שכבר מזמן שכח משיעורי המתמטיקה בתיכון, היא הפונקציה ההפוכה לחזקה (או פונקציה מעריכית). הפונקציה הלוגריתמית נותנת לנו איזו חזקה צריך להעלות כדי להגיע למספר אחר. אם 10 בחזקת 2 שווה ל-100, אז הלוגריתם של 100 בבסיס 10 שווה ל-2. עכשיו, אם אנחנו משתמשים בבסיס 3, אז הלוגריתם של 1 שווה ל-0, הלוגריתם של 3 שווה ל-1, והלוגריתם של 9 שווה ל-2. כלומר, הלוגריתם של 3 נמצא בדיוק באמצע בין 1 ל-9.

לוגריתמים משמשים אותנו באינספור תחומים מתמטיים וסטטיסטיים, מצוינים לתאור גרפי של נתונים שהסקאלה שלהם ענקית, אבל גם חשובים מאוד לפסיכולוגיה שלנו, או ליתר דיוק לתחושות הסובייקטיביות שלנו. ניסויים שונים מראים שמערכת הסנסורית שלנו מושפעת מאוד מלוגריתמים. אנשים חושבים שהם תופסים גירויים פיסיים כגדלים בצורה ליניארית, אבל למעשה הם בעצם גדלים בצורה לוגריתמית. יש לזה אפילו שם, חוק החזקה של סטיבנס. כך למשל, אם נגדיל את עוצמת הרעש בצורה מעריכית, כל פעם פי שניים או שלושה, אנשים יחשבו שהם גדלים באותו קצב בדיוק. או בניסוי אחר שנעשה, אנשים ימקמו את המספר 100 ביחס למספר 200, באותה קירבה שהם ימקמו את המספר 10 למספר 20, על גבי קו שרירותי. זה עובד גם בצורה הפוכה. אם נגדיל את הטמפרטורה בחדר בצורה קטנה והולכת כל פעם, למשל מ-25 מעלות ל-30, אחרי זה ל-33, 35, 36 וכו’, אנשים יחוו את העלייה הזו בצורה לינארית קבועה ולא ישימו לב שההגדלה קטנה כל פעם.

מבחינה השרדותית, יש הגיון בחשיבה לוגריתמית. חישבו על מצב שבו השבט שלכם מותקף על ידי שבט שכן. אתם רוצים להעריך כמה אנשים תוקפים אתכם. היכולת להבחין בין 3 אנשים ל-9, או בין 9 ל-27 משמעותי הרבה יותר מאשר לדעת אם מדובר ב-9 במקום 10, הבדל זניח לכל הדיעות. במילים אחרות, המוח שלנו פועל כך שהוא מעריך בצורה שממזערת טעויות יחסיות ולא מוחלטות. ככל שיש מדגם גדול יותר, כך סדרי הגודל הם החשובים ולא דיוק אבסולוטי. ככל שההפרשים גדולים יותר כך גם הטעויות היחסיות יקטנו. המוח שלנו אולי מבחין באותה חדות בהבדל בין 27 לוחמים לעומת 9, כמו גם בהבדל בין 9 לעומת 3, אבל ההבדלים האבסולוטיים כמובן גדולים יותר במקרה הראשון. באותה מידה, יהיה מאוד אדפטיבי לטיגריס רעב שצופה על עדר של אנטילופות, להבחין בין 100 ל-10 חיות, בעוד אם יש 95 או 100 בעדר לא ממש משנה לו. חשיבה לוגריתמית היא אם כך, תוצר הגיוני של האבולוציה שלנו.

צריך לזכור שהמתמטיקה, והמספרים בתוכה, היא שפה שבני אדם המציאו. העובדה שבהרבה מקרים יש התאמה בין המתמטיקה למציאות סביבנו ולטבע היא לא פחות ממדהימה, אבל המתמטיקה הייתה נכונה גם אם לא היה לה קשר למציאות החיצונית. מספרים ומה שהם מייצגים הם שפה משלהם, המצאה אנושית שמאוד נוח לנו להשתמש בהם, אבל הם לא עומדים בפני עצמם כאיזו שהיא אמת מוחלטת, ולכן שימוש בבסיס 3 הגיוני לא פחות משימוש בבסיס עשרוני, והתשובה 3 כמרחק האמצעי בין 1 ל-9 לא פחות מדויקת מ-5.

Both comments and trackbacks are currently closed.

תגובות

  • אורי  On 05/11/2012 at 1:09 am

    נחמד, אני אספר את זה לסטודנטים שלי שלא מבינים למה הם צריכים להתעסק עם גרפים של לוג התוצר

  • magusvulgaris  On 05/11/2012 at 5:43 am

    http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieg-thom-opf09.pdf
    הכן מחקרים מראים שייצוג לוגריטמי הוא יותר טבעי לנו מאשר ייצוג לינארי.

  • גיל  On 05/11/2012 at 8:26 am

    הנה קישור לשני מחקרים נוספים:

    http://www.psy.cmu.edu/~siegler/sieglerbooth-cd04.pdf

    http://www.sciencemag.org/content/320/5880/1217.short

  • אריאל גרייזס  On 05/11/2012 at 8:36 am

    מעניין, אם כי נראה לי לקחו את זה קצת יותר מדי קדימה לנושא הבסיסים השונים. אני מקבל שבני אדם צריכים להבחין בין סדרי גודל שונים, אבל מכאן ועד להבין שאנחנו חושבים בצורה לוגריתמית והמוח שלנו עובד בבסיס שונה זה או אחר.

    • גיל  On 05/11/2012 at 8:41 am

      זה לא שזה נעשה במודע כמובן, אבל אם תכנס לערך של סטיבנס בויקיפדיה תראה טבלה שנותנת את ההבדלים בפועל לעומת ההבדלים בתחושות. זה לא תמיד בדיוק לוגריתמי אבל לא ממש לינארי.

      • ארך אפיים  On 05/11/2012 at 6:00 pm

        כבר מזמן אני טוען שלמדוד ערכים של מניות בנקודות לינאריות זה אוילי. הרבה יותר הגיוני למדוד ב"נקודות" לוגריתמיות. כך שאם הנאסדאק עלה בשלושה אחוזים בחודש אחד וירד בארבעה בחודש הבא, חיבור וחיסור של הנקודות יתן את ההבדל המצטבר. הרבה יותר קל להבין מה קורה למניה מאשר במדד הנוכחי. זה יסבך קצת בוגרי תיכון, אבל יהיה הרבה יותר קל לילדים לעקוב 🙂

      • גיל  On 05/11/2012 at 8:27 pm

        אכן, מצוין.

  • דניאל  On 06/11/2012 at 2:57 pm

    אתה קצת מתבלבל בעניין הבסיס. הם לא קשורים פה. 5 הוא הממוצע החשבוני של 1 ו-9 בכל בסיס (גם אם שיטת הייצוג שלו שונה). ההבדל בין חשיבה לוגריתמית ללינארית הוא שאנחנו מחליפים את הממוצע החשבוני בממוצע גאומטרי (שורש המכפלה במקום חצי הסכום). אז 3 אכן באמצע.

    • גיל  On 06/11/2012 at 3:49 pm

      אתה צודק, לא הייתי ברור. 3 בחזקת 1 נמצא באמצע בין ש בחזקת 0 ושלוש בחזקת 2 ולכן 3 הוא התשובה הנכונה, זה לא קשור ישירות לבסיס.

  • niron1  On 17/11/2012 at 11:30 am

    ארך אפיים, אכן יש שימוש בלוגריתמיות בגרפים המתארים טווחים ארוכים, בניתוח טכני של מניות. ראה ערך ניתוח טכני: http://en.wikipedia.org/wiki/Trend_line_(technical_analysis). היכולת להשטיח גרפים מביאה לשימוש בגרפים אלו בתחומים אחרים כמו מדידות של רעידות אדמה ועוד

  • anonymous moose  On 23/11/2012 at 7:15 pm

    "אנשים ימקמו את המספר 100 ביחס למספר 200, באותה קירבה שהם ימקמו את המספר 10 למספר 20, על גבי קו שרירותי."

    אם אני מבין נכון את הניסוי, זה דווקא מצביע על כך שבני אדם כן חושבים בצורה לינארית ולא לוגריתמית. אם הם היו חושבים בצורה לוגריתמית, הם היו ממקמים את 100 ביחס ל-400 באותה קירבה של 10 ל-20. (כי e^(log(100)*log(20)/log(10))=400 ).

    "זה עובד גם בצורה הפוכה. אם נגדיל את הטמפרטורה בחדר בצורה קטנה והולכת כל פעם, למשל מ-25 מעלות ל-30, אחרי זה ל-33, 35, 36 וכו’, אנשים יחוו את העלייה הזו בצורה לינארית קבועה ולא ישימו לב שההגדלה קטנה כל פעם."

    זה גם לא לוגריתמי. אם בני אדם היו חושבים על טמפרטורה באופן לוגריתמי אז הם היו חווים באופן לינארי עלייה שדווקא הולכת וגדלה, נניח מ-25 ל-30 ל-37 ל-50 ל-70.

    וכמו דניאל, גם אני חושב שאתה מציג לא נכון את הקשר לבסיס ספירה: מהצורה שהפוסט כתוב, משתמע בבירור שהערכת "איזה גודל באמצע" תלויה באיזה בסיס משתמשים, ולא כך הדבר. אם הכנסת את הדיון בבסיס ספירה כעזרה למי שלא מבין לוגריתמים, שווה לקחת בחשבון שדווקא מי שלא מבין לוגריתמים יתבלבל מהדבר הזה.

    • גיל  On 23/11/2012 at 7:21 pm

      בהחלט יכול להיות שמה שאנשים עושים לא לוגריתמי ואם תסתכל בלינק לויקיפדיה תראה שזה לא תמיד ככה, אבל זה גם לא לינארי. אנשים פשוט לא ממש מתייחסים לקנה המידה.

      לגבי לוגריתם, זה פשוט היפוך של החזקה. אם אנשים תופסים ש3 הוא האמצע בין 1 ל9 אז הם מתייחסים לחזקה הראשונה כאמצע בין אפס לשתיים.

  • D  On 26/08/2013 at 2:34 am

    מעניין, קוסמים משתמשים בעובדה שמרבית האנשים, אם תבקשו מהם לבחור מספר אקראי בין 1-10 ייבחרו את המספר 7 (נסו בעצמכם, שאלו עשרה אנשים).

    מעניין אם זה קשור איכשהו (בחורים מספר ששואף לחצי באופן כלשהו?

    • גיל  On 26/08/2013 at 8:41 am

      זה אכן נכון אבל לא ממש קשור לנושא הזה.

%d בלוגרים אהבו את זה: