האם יכולת מתמטית היא דבר מולד? על היכולות המתמטיות והסטטיסטיות של תינוקות וזאטוטים

יכולת מתמטית חיונית לתפקוד היומי של כל אחד ואחד מאיתנו. לא חייבים לדעת לפתור אינטגרלים בשביל להכיר בעובדה הזו אבל מחקרים שונים מראים שיכולת מתמטית היא מנבא טוב להצלחה בחיים, הכנסה ואפילו אושר ורווחה. יכולות מתמטיות הן דבר נרכש בחלקו ומאפיינים כמו הכנסה של ההורים והסביבה שבה גדלתם משפיע מאוד על היכולת שלכם. אבל חלק מהיכולות הללו מולד וקשורה בין השאר לזיכרון קצר וארוך. כמה מחקרים מהעת האחרונה בחנו את הנושא אצל ילדים ותינוקות כדי לנסות לעמוד על המרכיב הקוגנטיבי המולד הזה.

המאמר הראשון עוסק במה שנקרא “Number sense”, פראפרזה על המושג קומון סנס. Number sense (החוש המספרי?) מתייחס ליכולת אינטואטיבית של אנשים לערוך חישובים והערכות מתמטיות שונות בלא מאמץ. זה אומר, לדעת לחבר ולחסר ללא מאמץ, או להעריך במבט חטוף אלו מהתשובות האפשריות לשאלה מתמטית קרובה למציאות ואלו אחרות חסרות הגיון. הרעיון הכללי הוא לא לחשב דברים בצורה פורמאלית אלא יותר לפעול לפי תחושת בטן. ישנם מבחנים שונים לבדיקת החוש המספרי הזה ואחת מהן היא על ידי הצגה של שתי תמונות שבכל אחת מהן יש נקודות בצבע כחול או צהוב בגדלים שונים. הגירוי עם שתי התמונות מוצג למשך שתי שניות שלאחריהן הנבחן צריך לומר באיזו תמונה יש יותר נקודות. לאחר מכן מקבל הנבדק פידבק לגבי התשובה שלו. המבחן הזה נערך במקרה הנוכחי על 26 ילדים, גילאים 3-5 (גיל ממוצע 4) שכל אחד מהם נבחן בו 60 פעם עם מספר נקודות משתנה בטווח שבין 4-15.

כמובן שככל שהיחס בין הנקודות בצבעים השונים שונה, כך קל יותר לאתר את התשובה הנכונה וזה אכן מה שנמצא. הילדים דייקו בתשובה נכונה ב-65% מהמקרים. בנוסף, בדקו החוקרים את מהירות התגובה של הילדים. המטרה הייתה לבחון האם הדיוק בתשובות ומהירות התגובה שלהם נמצאים במתאם עם מבחנים אחרים, סטנדרטיים ופורמאליים של מתמטיקה וזה אכן מה שנמצא. היכולות הללו היו בלתי תלויות בגיל הילד ולא ביכולות המילוליות שלו. כלומר גיל הילד לא השפיע על הביצועים במבחן, מה ששולל במידה רבה הסברים שקשורים ללמידה. הממצא הזה חשוב כי גם תינוקות קטנים מאוד ואפילו פרימאטים עליוניים אחרים שנבחנו במשימה הזו הראו שונות בתוצאות, מה שמרמז שיש אנשים שטובים יותר במתמטיקה וכאלו שפחות באופן מולד. זה לא אומר כמובן שתרגול ולמידה לא יכולים לשפר משמעותית את היכולות של כל אחד ואחד מאיתנו.

מאמר שני עוסק ביכולת ההסקה הסטטיסטית של תינוקות. בני אדם וחיות אחרות עוסקים כל הזמן בחישוב הסתברויות למאורעות שונים. היכולת לחזות בצורה סבירה מה קורה בסביבה שלנו הכרחית להשרדות. אם אנחנו מעריכים בצורה שגויה סכנה מסוימת יש סיכוי שנפגע. כמובן שככל שיש יותר ידע על הסביבה כך קל יותר לערוך את החישובים הללו, אבל מה קורה כאשר הסביבה חדשה לגמרי ואנחנו נדרשים להחליט על מאורעות חד פעמיים? הרישום הבא מדגים את הנושא. נניח שאתם רואים שולחן ובו ערימת קוביות כמו בציור למטה. נניח שמישהו נותן מכה לשולחן ונאמר לכם שקובייה בודדת נופלת. אתם צריכים לנחש איזה צבע של קוביה הוא בעל הסיכויים הגדולים יותר ליפול מהשולחן:

image

במקרה A, כל הקוביות נמצאות בקצה השולחן אבל יש פי שתיים קוביות אדומות וצהובות ולכן ההימור הסביר הוא על הקוביה האדומה.

במקרה B, יש יותר קוביות צהובות בקצה ובמבנה לא יציב כך שסביר שתאמרו צהוב.

במקרה C, התשובה כאן פחות ברורה אם כי רוב האנשים יאמרו אדום.

מקרה D, דומה למקרה הקודם רק שכאן יש יותר קוביות צהובות במבנה יותר מעורער ורוב האנשים יאמרו צהוב.

הנקודה המרכזית היא שאנשים מסוגלים לתת ניבויים לתרחישים ההיפותטיים הללו גם בלי ניסיון קודם. זה משהו שאנחנו עושים שוב ושוב בחיי היום יום. השאלה היא מה השורשים של צורת המחשבה הזו והאם גם תינוקות מסוגלים להסיק בצורה דומה?

מחקרים על תינוקות קטנים לרוב נעשים דרך פרדיגמת ההביטואציה (habituation). בשיטת המחקר הזו נותנים לתינוק גירויים שונים וכאשר הוא מסתכל על גירוי מסוים זמן ארוך יותר ההנחה היא שהוא מופתע, והגירוי מפר ציפיות מסוימות שיש לו לגבי העולם. זה קורה לרוב עם גירויים חדשים ולא מוכרים שהוא מסוגל לזהותם ככאלו. החוקרים השתמשו בואריאציה של הפרדיגמה הזו ובדוגמא פשוטה יותר ממה שתארתי למעלה כדי לבחון עד כמה התינוקות מסוגלים לצפות את העתיד.

התינוקות צפו בסרטים שבו חפצים בצורות וצבעים שונים נעו בצורה אקראית בתוך עיגול עם פתח למטה. לאחר כמה שניות העיגול כוסה כך שהתינוק לא יכל לצפות בו, ולאחר שתי שניות נוספות אחד החפצים יצא מהפתח התחתון. הזמן שבו התינוק צפה בחפץ הוא מדד לכמה הוא היה מופתע לראותו. ככל שהוא צופה בו יותר זמן כך מה שקרה נראה לו פחות הגיוני. למשל, התינוקות היו צריכים להעריך שחפץ שהוא קצת רחוק מהפתח יפול ממנו אחרי שתי שניות שבו הם לא רואים אותו, בעוד חפץ שרק עבר את הפתח לא יפול אליו (ולכן יסתכלו עליו זמן ממושך יותר אם זה באמת קורה כי הם מופתעים). הם גם היו צריכים להעריך שחפצים רבים יותר מצורה מסוימת יהיו בעלי סיכוי גבוה יותר ליפול בהשוואה לחפץ בודד, או שאם יש חוצץ באמצע העיגול שבולם חלק מהחפצים בצד שלו אז הם לא יכולים ליפול דרך החור.

מסתבר שתינוקות בני 12 חודשים מסוגלים לאינטגרציה של מידע משולב במערכת דינמית כזו, ויודעים לצפות בצורה טובה איזה חפץ הוא בעל הסבירות הגבוהה ביותר ליפול מהעיגול. יותר מזה, התינוקות מחזיקים בראשן מודל אופטימלי פשוט למדי שמובע בנוסחא הבאה:mml-math-1

זהו מודל בייסיאני מתוחכם למדי שלוקח בחשבון הסתברויות א-פריוריות. במלים פשוטות, תינוקות מסוגלים לחשוב על ההסתברויות השונות של מאורעות שונים ולא יוצאים מנקודת הנחה שכל המאורעות בעלות הסתברויות שוות משהו שלא מובן מאליו כלל. זו עוד הוכחה לכך שמתמטיקה אינטואטיבית לא דורשת בהכרח הבנה מעמיקה בנוחסאות או פורמליזציה והיא חלק מארגז הכלים שהטבע מצייד אותנו בו.

Both comments and trackbacks are currently closed.

תגובות

  • עדו  On 26/02/2012 at 1:49 am

    "ליפול מהחור"???
    התכוונת בוודאי לכתוב "ליפול מהשולחן"

  • אריאל גרייזס  On 26/02/2012 at 4:18 am

    הקטע האחרון עם התינוקות מעניין במיוחד. תמיד האמנתי שתינוקות הם סוג של טאבולה ראסה, שמגלים את העולם תוך כדי התנסות, כלומר תינוק שיזרוק כדור על הרצפה יילמד שהוא קופץ חזרה מניסיון ולא כי הוא "יודע" את זה. הניסוי הזה בעצם אומר שלתינוקות כן יש סוג של ידע מוקדם שמוטמע בהם

    • גיל  On 26/02/2012 at 9:18 am

      האמת היא שכאשר חושבים על זה, אפילו חוקים פיסיקליים בסיסיים צריך שיהיו כי אחרת מאוד קשה ללמוד אותם רק מצפייה.

  • שחר  On 27/02/2012 at 12:12 am

    ויש המאמר הזה, שמעלה תהיות בנוגע למסקנות של המאמר הראשון:
    http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1551-6709.2011.01209.x/abstract

    כמו כל דבר שקשור בלשון הזו, המאמר הזה הוא בעצם תגובה לתגובה על סדרת ניסויים קודמת. אם לשפוט מההיסטוריה, גם המאמר הזה יגרור עוד ערימות של תגובות.

    חשבתי שזה יכול לעניין.

    • גיל  On 27/02/2012 at 12:23 am

      אני לא בטוח שהוא בהכרח סותר. גם אם המסקנות של המחקר נכונות (ומאוד צריך להזהר עם מבחנים שעובדים טוב על אוכלוסיות מערביות והפרשנות שלהם), יכול להיות שמאפיינים ייחודיים של התרבות הזו מונעת מהם את היכולת הזו. זה יכול להיות בגלל סיבות תרבותיות או גנטיות. בכל מקרה זה נושא מאוד מעניין ואני בטוח שיעשו עוד מחקרים עליהם ועל חברות מסורתיות אחרות.

  • Uri Cohen  On 28/02/2012 at 5:42 am

    המלה "מולד" בכותרת מזמינה פרשנות לא נכונה, לדעתי, כאילו היכולת הזו "גנטית" או קיימת מגיל 0.

    במובן מסויים ברור שתינוקות בני 12 חודשים הם לא טאבולה-ראסה: יש להם את המחשב המתוחכם ביותר שיש לנו היום ויש להם 12 חודשים של חשיפה ללא הפסקה לעולם. אני לא מאמין שלווטסון (מחשב העל של IBM שניצח בג'פרדי) יש גישה לכל כך הרבה מידע.

    הפרשנות הסבירה לתוצאה כזו היא שלתינוקות יש באופן מולד, גנטי, מגיל 0, מנגנון הסקה בייסיאני מתוחכם להפליא. כך ללא "נסיון קודם" במטלה המדוייקת וללא צורך ב- "מנגנון מולד להערכת כמויות אובייקטים" הם יכולים להצליח יפה.

    • גיל  On 28/02/2012 at 8:24 am

      אורי, זו בדיוק הכוונה שלי. להראות מה מהיכולות המתמטיות שלנו מולדות וקיימות בלידה. אין ספק שיש צורך באינטרקציה עם הסביבה כדי שהמנגנון הזה יבוא לידי ביטוי.

  • ניר  On 01/03/2012 at 4:23 am

    אנשים שלומדים לנבא נפילה של קוביה מהשולחן לריצפה עושים זאת על סמך נסיון העבר. בסך הכל האנשים המצליחים בחיים הם אלו שמיטיבים יותר מאחרים לזכור וללמוד מנסיונם בעבר ומשליכים ממנו על העתיד. אבל נסיון העבר אינו ערובה לכך שדברים אכן ימשיכו לקרות בעתיד. יש תחומים רבים בהם ההסתברות להתרחשות שכזאת גבוהה (שהשמש תחזור מחר לזרוח) ויש כאלו בהם קשה לנבא: שוק ההון למשל. בכלל חשוב לזכור: נסיון אינו קשור בדבר וחצי דבר לגבי סיבתיות. תוצאה של פעולה שנכנסת לראשי ונזכרת כנסיון, אינה אלא נסיון ואין בה כאמור שום סיבתיות או בטחון שאכן ניתן לחזור על הנסיון.

    • גיל  On 01/03/2012 at 8:44 am

      אין ספק שניסיון חשוב במקרה הזה אבל איך תסביר שגם תינוקות מסוגלים לנבא משימה דומה? להם אין ממש ניסיון עם הנושא הזה. אתה צודק שאין ערובה שהם יצדקו כך או כך, אבל זה יהיה הניחוש הסביר. שוק ההון זה משהו אחר לגמרי, שם כמעט בלתי אפשרי לנבא עם או בלי ניסיון.

  • עמית  On 04/03/2012 at 5:57 pm

    מרתק. תודה על הדיווח. מעניין לחשוב על הקשר או העדר הקשר בין חישובים שמתבצעים במוח כחלק מפעולתו לבין חישובים שאנחנו מבצעים בעזרת המוח.

    • גיל  On 04/03/2012 at 6:09 pm

      איך היית מבחין בין השניים? אתה מתכוון למשהו כמו ההבדל בין זיכרון אפיזודי לזיכרון דקלרטיבי? בין מיומנות ללא מאמץ לבין משהו שצריך לחשוב עליו במודע?

      • עמית  On 04/03/2012 at 6:20 pm

        חייב לרוץ לישון אז אין לי זמן לענות תשובה מלאה. אבל הייתי מניח שזה אולי אחד המקרים שיש בהם הרבה שטח אפור או מצבי ביניים. המוח הוא מכונה חישובית, כל פעולה שהוא עושה היא חישוב מנקודת מבט מסוימת. בצד השני של הסקאלה יש את מערכת החישובים המודעת. ויש הרבה באמצע.

      • גיל  On 04/03/2012 at 6:49 pm

        אני מסכים. בוודאי שיש מתמטיקה אינטואטיבית (כמו גם סטטיסטיקה אינטואטיבית) ויש על זה לא מעט מחקרים. מן הסתם יש אלמנטים מסוימים שאנחנו מסוגלים לחשב באופן טבעי בלי מאמץ. מתמטיקה מסוג אחר בנויה כנראה על אדפטציות אחרות ולכן יותר מודעת וגם לוקחת יותר זמן (וגם כנראה יותר מועדת לטעויות).

  • ניר  On 06/03/2012 at 11:13 am

    גיל, אני לא בטוח שמדובר באותה תכונה. לדעתי יכולת מתמטית היא נושא אחד ומה שאתה קורה יכולת סטטיסטית זה נושא אחר שאולי קשור לחלק אחר של המוח. היכולת הסטטיסטית כפי שמוצגת במחקרים שהצגת ניראית לי יותר כאינסטינקטים, כאינטואציה, ופחות מצביעה על כישורים מתמטייים. האם תינוק שרואה קוביה נופלת מבין את המרכיבים הפיזיקליים שגרמו לנפילה את הגרביטציה והנוסחאות הרלוונטיות ומחשב אותן במהירות במוחו הצעיר הקודח? האם תינוקות כאלו שנעביר לירח לדוגמא יפגינו אותם כישורים בתנאים אחרים של כוח משיכה? קשה לי להאמין על אף העובדות שאין כאן או למידה מגיל של שבועות או חודשים ספורים (מי יודע..) או אינסטינקטים כלשהם.

  • גיל  On 06/03/2012 at 1:15 pm

    תראה, יכולת מתמטית וסטטיסטית זה מושג שיכול להתפרש לכמה כיווניםץ השאלה כמובן כמה ממנה הוא אינסטינקטים וכמה דורש חשיבה מאומצת. אנחנו נוטים לחשוב על כישורים מתמטיים כמשהו נלמד שדורש מאמץ אבל האם זה בהכרח חייב להיות ככה? אגב, לא צריך לדעת פיסיקה וחוקי ניוטון בשביל להבין את כוח המשיכה. בדיוק כמו ששבלול לא בדיוק מבין את הספירלות על הגב שלו. האבולוציה מעצבת במקרים רבים התנהגויות בצורה מיטבית בלי שום צורך ב"ידע" פורמאלי.

  • מיכל  On 13/03/2012 at 2:28 pm

    הי גיל,

    יהיה מעניין לבדוק (ואולי מישהו כבר עשה את זה?) אם יכולות אינטואיטיביות מולדות כאלו באות לידי ביטוי בבי"ס (נגיד- בציונים, או בהשתקפות האחוזים בהקבצות השונות). לדעתי, המתמטיקה שנלמדת בביה"ס (ובעיקר לבגרות) דורשת בעיקר יכולות פורמליות ויכול להיות שיש הרבה 'מתמטיקאים מלידה' מפוספסים…

    • גיל  On 13/03/2012 at 2:32 pm

      אני מסכים. הצורה שמלמדים מתמטיקה היום היא קאונטר אינטואטיבית ומחייבת הרבה תרגולים וטכניקה ולא יותר מדי מחשבה. אני לא נגד תרגולים ופתירת בעיות אבל יכול להיות שיש אנשים שהם טובים במתמטיקה שזה בא אצלם לידי ביטוי בצורה אחרת. נו, הנה פרוייקט לאיזו תיזה או דוקטורט בחינוך.

      • מיכל  On 13/03/2012 at 11:15 pm

        האמת היא שכבר כתבו על זה חוקרים בשם קרסנטי והרכבי- ראיינו תלמידים מהקבצות נמוכות במתמטיקה מכיתות ח' ו-ט' על בעיות שלא הכירו כמו נגיד לקרוא גרפים כלכליים (על נפח מסחר של בנק) שהופיעו באחד העתונים. והילדים שרואיינו- לא רק שהפגינו יכולות מרשימות בהרבה ממה שנראה היה בתצפיות בכיתה, כשהם יכלו להשתמש באינטואיציה שלהם, הם גם ממש גילו עניין ומוטיבציה לפתור את הבעיות שהמראיינת נתנה להם.

        קישור למאמר: http://stwww.weizmann.ac.il/manor/talmidim_mitkachim/doah/chapter1-1.htm

        ודרך אגב- אני בכלל לא מזלזלת ביכולת הפורמלית- חשוב לפתח גם אותה, אבל הרבה תלמידים מוכשרים מתבזבזים בצורה הזו, והמסר לתלמידים הוא שליכולת האינטואיטיבית אין חשיבות

      • גיל  On 13/03/2012 at 11:27 pm

        יפה, לא שמעתי על המחקר הזה. וכן, לא צריך לזלזל ביכולות פורמאליות רק בגלל שהן פחות אינטואטיביות רק צריך להיות יותר רגישים כנראה לבעיות שיש לתלמידים עם פתרון בעיות כזה.

%d בלוגרים אהבו את זה: