מתמטיקה נאיבית ותחושות בטן

הרבה מאוד אנשים סובלים מפחד ממתמטיקה או ממספרים (יש אפילו פוביות מיוחדות לכך). לרבים יש סיוטים עוד מזמן בית הספר כשהם נאלצו לשנן נוסחאות שונות או לשקוע בפתרון אינסוף משוואות ריבועיות. רבים מאשימים את שיטות הלימוד בבתי ספר כאחראים לכך שילדים מפתחים רתיעה ושונאים מתמטיקה. מחקר חדש מגלה שיכול מאוד להיות שיש דברים בגו', ושיטות הלימוד במתמטיקה צריכות להתעדכן.

המחקר, שפורסם בכתב העת Nature ואת התקציר שלו אפשר לקרוא כאן עוסק בעיקר בדרך שבני אדם מחשבים אומדנים, משהו שנטוע עמוק בתוכנו מסיבות אבולוציונית. מסתבר שילדים מלפני גיל בית הספר, טובים מאוד באומדנים ובהערכות שמבוססות על חיבור וחיסור מספרים גדולים. הם לא ממש טובים בחישובים מדויקים, כלומר בפרטים הקטנים, אבל בגדול יש לכולנו נטייה בסיסית לתת אומדנים מדויקים פחות או יותר. הדבר מרמז שיתכן שההתעקשות של מורים על חישובים מדויקים וההקפדה על טעוית חישוב מיותרת או לפחות מוגזמת.

במחקר הספציפי הזה ישבו ילדים בני 14 מול מחשב, וצפו ברצף של נקודות צהובות וכחולות שהבהבו ל-200 מילישניות בלבד. לאחר מכן הם היו לחצו על מקש בהתאם להאם חשבו שהיו יותר נקודות צהובות או כחולות על המסך. אתם יכולים לשחק בגירסה אחת של המשחק פה. התוצאות הראו שהיו הרבה ילדים שהיו בעלי יכולת אבחנה חדה. הם יכלו להבחין בין 9 נקודות צהובות ל-10 כחולות למשל. מנגד, היו ילדים שהתקשו להחליט בין 5 נקודות כחולות ו-3 צהובות. יש קשר חזק מאוד בין יכולות של ילדים במשימה הזו לבין ההצלחה שלהם במבחני מתמטיקה סטנדרטיים.

לתרגיל הזה יש הרבה השלכות לחיי היום יום שבהן מעורבים חישובים מתמטיים לא מודעים. כשאתם מסיימים מסע קניות ועומדים מול התור בקופה, אתם מחשבים בצורה אינטואטיבית איזה תור יהיה קצר יותר. לפעמים החישוב נעשה על פי מספר האנשים בתור, אבל פעמים אחרות זה מבוסס גם על כמות המצרכים שיש לכל אחד מהם וכמה זמן יקח להם לשלם על הקניות. דוגמא אחרת היא כאשר אנשים אוכלים מאכלים עתירי קלוריות והם מנסים לחשב את כמות הפעילות הגופנית שתדרש מהם כדי לשרוף את אותה עוגת גבינה או ארוחה במסעדת מזון מהיר. הבעיות הללו הן חלק ממה שנקרא Fermi Problem (או בגירסה הקלאסית: כמה מכווני פסנתרים גרים בשיקאגו?), שזה מעין תרגיל אינטלקטואלי שבו מנסים להעריך בצורה מספרית שאלה שרירותית כלשהיא.

הדוגמאות הללו לא ייחודיות לבני אדם ויש להם מרכיב חשוב בהישרדות. ציפורים יכולות לחשב האם יהיה כדאי להם לעוף למרחק גדול כדי למצוא אוכל, ושני בבונים ינסו להעריך האם הם יכולים להתגבר על מספר גדול של יריבים ביחד. אבל כאשר עורכים חישובים פורמאליים שמבוססים על מערכת סמלים מתמטית שהיא שרירותית, זה נעשה קשה הרבה יותר. ההתפתחויות המתמטיות הסימבוליות רחוקות מאוד מהמתמטיקה האינטואטיבית שהיא שריד אבולוציוני קדום, ודורשות הרבה יותר מאמץ. זו הסיבה אולי שכדאי ללמד מתמטיקה עם דוגמאות מהיום יום ולא בצורה מופשטת (כמובן שזה אפשרי רק עד גבול מסוים).

Both comments and trackbacks are currently closed.

תגובות

  • avivsky  On 27/09/2008 at 9:14 pm

    מאיפה הגיעה המילה הזו לתיאור התופעות שאתה מתייחס אליהן?
    ילדים ראו אוספי נקודות ל200 מילישניות ונראה לך שהם חישבו משהו בשביל להגיע לתשובה?
    או ציפורים מחשבות האם כדאי לעוף מרחק גדול?

    זה שהבון-טון של חקר המוח גורס שהמוח אינו אלא מחשב משוכלל עדיין לא מצדיק פרשנויות מגמתיות כמו שלך.

    ואם כבר אתה מקדם "מתמטיקה אינטואיטיבית" למה שלא תכתוב 1/5 שניה במקום 200 מילישניות?

    ולשם האיזון: למרות שהמשפט האחרון שלך לא נטול בעיות בהחלט יש בגישה כזו טעם.

  • גיל  On 27/09/2008 at 9:22 pm

    מעבר לזה שאתה קורא בצורה סלקטיבית ומגמתית ומייחס לי דברים שלא כתבתי, הבנת הנקרא: אמרתי שהם לחצו על מקש בהתאם למה שחשבו שיש יותר. כל שאר הפרשנויות הן על דעתך בלבד.

  • avivsky  On 27/09/2008 at 10:27 pm

    השורש ח.ש.ב. בבניין פיעל מופיע כ 10 פעמים (אומדן אינטואיטיבי שלי)
    ברשימה. הוא מופיע גם לפני תיאור הניסוי וגם אחריו.
    הייתי מחזיר לך על "הבנת הנקרא" שלך אבל אם לא התכוונת ל"חישוב" אז בטח תעבור עכשיו ותמחוק את כל שגיאות הכתיב שלך מהרשימה.

  • גיל  On 27/09/2008 at 10:40 pm

    אני בהחלט מדבר על חישובים אבל לא בהקשר של הניסוי. מה לעשות שמתמטיקה כוללת גם חישובים, בין אם תרצה בכך או לא וממש אין קשר בין זה ובין אם המוח שלנו הוא מחשב או לא.

  • avivsky  On 27/09/2008 at 11:00 pm

    אז בוא נגיד שאני עוזר לך להבהיר את הרשימה הזו.
    אם אין קשר בין הדיבור על חישובים לניסוי אז למה הם שזורים זה בזה ברשימה? למה הניסוי מוכיח ש"יש דברים בגו"?

  • גיל  On 27/09/2008 at 11:05 pm

    הרשימה לא זקוקה לשום הבהרה והיא ברורה דיה. אם אתה מעוניין להטיח עלבונות או סתם הערות קטנוניות זה באמת לא המקום.

  • avivsky  On 27/09/2008 at 11:28 pm

    עכשיו את מגיב כמו מישהו ממדעי הרוח!
    אל תשכח שאתה מדען רציני שמתמודד עם עובדות בלי להימלט לרטוריקה.
    ולעניין:

    בשורה הראשונה של הפסקה השניה אתה כותב שהמחקר עוסק "בעיקר בדרך בה בני אדם מחשבים אומדנים".
    אבל בתגובה הראשונה שלך אתה טוען שלא כתבת "חישובים" בהקשר של המחקר .
    אז הנה משהו לא ברור.

    עוד משהו לא ברור: בשורה הראשונה של הפסקה הרביעית אתה כותב על המחקר הנ"ל:
    "לתרגיל הזה יש הרבה השלכות לחיי היום יום שבהן מעורבים חישובים מתמטיים"

    אבל בתגובה השניה שלך אתה טוען שאתה מדבר על חישובים אבל לא בהקשר של הניסוי.

    בכלל (כמו ששאלתי למעלה) אם הדיבור על חישובים לא קשור לניסוי אז מה הניסוי עושה ברשימה הזו?

    מקוה שהייתי ענייני.

  • גיל  On 28/09/2008 at 1:30 am

    אין לי שום עניין בהערות קנטרניות. אתה רוצה להיטפל למילה אחת ולהיות קטנוני שיבושם לך.

  • ליאור  On 28/09/2008 at 3:27 am

    שיטת מונטסורי מצליחה להתמודד בצורה מצויינת עם הרתיעה ממתמטיקה שאתה מדבר עליה, וההישגים של התלמידים של השיטה הזאת עולים על שיטות הלימוד המוסרתיות. גם זה התפרסם בנייצ'ר מתישהו. רק מלהסתכל על הילדים לומדים בשיטה הזאת אפשר להבין למה. בארצות הברית יש הרבה בתי ספר ציבוריים שעובדים בשיטה הזאת. אגב, נראה לי שהיא יכולה להתאים מצויין לישראל.

  • גיל  On 28/09/2008 at 3:37 am

    לא מכיר אותה.

  • אחת מהצפון  On 28/09/2008 at 12:10 pm

    ובלי קשר לשיטות השונות, הרבה מורים למתמטיקה בתיכון פשוט לא מבינים את השפה לעומק ולכן גם לא יכולים להעביר לתלמידיהם מעבר לנוסחא ולתשובת המחץ "ככה זה".
    אני כואבת את דעיכת התעניינותו של בני בתחום הזה דווקא בגלל ה"ייבוש" שתיארתי קודם. והוא עוד אחד שהוכתר כמחונן בגלל היכולת המתימטית הגבוהה שלו. איזה בזבוז…

    אה, ושנה טובה לך, גיל.
    אמנם יש לי לא מעט הסתייגויות על כתיבתך (הן מבחינת בחירת הנושאים והן מבחינת סגנון) אבל בשורה התחתונה- אתה אחד מהמעניינים ביותר כאן.

  • דודי  On 28/09/2008 at 12:26 pm

    לא ברור איך אתה מסיק מן התוצאות ש"שיטות הלימוד צריכות להתעדכן" ושמורים צריכים להתעקש פחות על דיוק. שהמחקר מצא התאמה בין היכולת לתת אומדן מדויק לבין הישגי התלמידים במתמטיקה במערכת הלימוד הסטנדרטית. כלומר, המערכת באמת בוחנת איזו יכולת יסודית ובסיסית.

  • אריאל  On 28/09/2008 at 3:51 pm

    אבל בינו לבין מתמטיקה אין שמץ של קשר. אם מתמטיקה היתה אינטואיטיבית, אז חיינו היו פשוטים יותר, אבל מה לעשות שהיא לא רק לא כזאת, אלא שחלקים נכבדים ממנה עוסקים בדברים שבכלל לא נתפסים על ידי המוח – מספרים דימיוניים, רב-ממדיות וכו'.
    מה שאתה מדבר עליו זה אומדנים, שזה טוב ויפה, אבל אני באמת לא רואה איך זה קשור למתמטיקה או ללימוד של מתמטיקה

  • גיל  On 28/09/2008 at 6:14 pm

    הנקודה המרכזית היא שלאנשים באמת אין יכולת טבעית להתעסק עם מספרים מדומינים או אינטגרלים כי הם לא ממש אינטואטיבים. הרעיון הוא שאנשים טובים בסוגי מתמטיקה שיש לה קשר להישרדות בסיסית. תאמרו שזוהי רק מתמטיקה בסיסית וזה כנראה נכון, אבל זה לפחות משהו שאפשר לבנות עליו את המתמטיקה היותר מסובכת לפני שצוללים לאבסטרקט.

  • עמית  On 28/09/2008 at 8:51 pm

    אף אחד לא מבסס את התאוריות המתמטיות על יכולת חישוב או אמידה כזו או אחרת.
    המתמטיקה מבוססת על יכולת לוגית ואנליטית.
    אני חייב לציין שעברתי תואר ראשון שלם במתמטיקה, ואף סיימתי אותה בהצלחה רבה מאד זאת בלי להיעזר ולו פעם אחת במחשב כיס לביצוע חישובים כלשהם.
    שום דבר במתמטיקה לא מבוסס על דיוק ביכולת החישוב. ולכן גם הרעיון של לבנות את המתמטיקה על היכולת החישובית שניתנה לנו לצורך הישרדות הוא רעיון מופרך מעין כמוהו.

  • גיל  On 28/09/2008 at 9:01 pm

    אבל ביסודי ותיכון מדגישים כל הזמן את הדיוק.

  • עמית  On 29/09/2008 at 7:14 am

    גם בתיכון לא השתמשתי במחשבון, אבל זה בגלל שהתרגילים דורשים אריתמטיקה פשוטה למדי בד"כ.

    אבל יותר חשוב – צריך להבדיל בין מה מלמדים לאיך מלמדים.
    זה שבתיכון וביסודי מדגישים את הדיוק (נניח… כי אני לא זוכר את ההדגשה הזו, אבל עבר זמן רב). זה לא בהכרח קשור למה מלמדים. זה לא בהכרח קשור למתמטיקה עצמה. זה קשור לאיך מלמדים.

    אני בעוונותי לימדתי קצת מתמטיקה גם ביסודי וגם בתיכון – ואני זוכר איך הדגשתי שוב ושוב את הצורך בלבדוק שהפתרונות שמקבלים "נראים הגיוניים" – שזה בדיוק יכולת האמידה שדיברת עליה. אם מפתחים אותה, אזי עושים הרבה פחות שגיאות בפתרונות, וזה מה שניסיתי להראות לתלמידים.

    דיוק? דיוק במה?

  • עמית  On 29/09/2008 at 7:18 am

    באחד מראיונות העבודה שעברתי (לתפקיד שדורש יכולת מתמטית וחישובית גבוהה במיוחד), רצו בין השאר לבדוק את יכולת האמידה שלי, והתמודדות עם חישובים של גדלים בלתי ידועים.

    השאלה שנשאלתי היתה כמה תחנות דלק יש בארה"ב.

    שאלה מעניינת.

    איך מגיעים לתשובה (ללא שימוש באינטרנט) זה אפילו יותר מעניין.

  • אסתר  On 29/09/2008 at 11:35 am

    לגיל היקר!

    איך עובדת עקרונית שיטת מונסורי
    ישנם שלבים בעבודה זו בהתאם להתפתחות הילד.
    מכיון שאני מלמדת אומנות אשתמש במונחים מעולם זה
    צבע אדום
    א. נראה צבע אדום ונסביר:"זה צבע אדום", הפגשת הילד עם האוביקט
    ב.איפה האדום?כלומר שיום [שם]ציון והפנמה
    ג.איזה חפץ צבוע באדום? מתוך כל החפצים הילד צריך להצביע על חפץ בצבע אדום
    ד.מה עוד באדום, ונמצא בחדר או במקום שבו אנו נוכחים
    ה. איזה עוד דברים אתה מכיר בצבע אדום. הפשטה, ודמיון
    אלה חמשת השלבים הבסיסיים, וזה נכון לגבי כל תחום, בחרתי בצבע ולא במספר כי יותר קל לי אישית עם זה, אבל זה עובד טוב מאוד גם במתמטיקה.
    שנה טובה לך מקווה שהועלתי במשהו
    אסתר

  • גיל  On 30/09/2008 at 2:24 am

    לא הכרתי את השיטה.

    עמית, השאלה שנשאלת היא שאלה קלאסית בראיונות. יש הרבה דרכים לענות עליה.

  • אסף  On 18/11/2008 at 3:08 am

    בהקשר הזה, המחקרים של כהנמן וטברסקי מצביעים בין השאר על חוסר יכולת אינטואיטיבי של בני אדם לתפוש עקרונות סטטיסטיים, שנראים ברורים רגע אחרי שאתה לומד סטטיסטיקה. כמובן, הם עסקו רק בתיאור המצב, ולא סיפקו הסברים על מדוע לא התפתחה אצלנו היכולת לראות את העולם כפי שהוא.

%d בלוגרים אהבו את זה: